BARISAN DAN DERET (ARITMATIKA dan GEOMETRI)
A. Barisan aritmatika
U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika
U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta
Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1
Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
U1, U2, U3 ............., Un
Rumus Suku ke-n :
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n
B. Deret aritmatika
a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.
a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n
Jumlah n suku
Sn = 1/2 n(a+Un)
= 1/2 n[2a+(n-1)b]
= 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)
Keterangan:
1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")
2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
3. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn"
4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1) dst.
5. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n
6. Jika 3 bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan, misal bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b
C. Barisan Geometri
U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika
U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta
Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)
Rasio r = Un / Un-1
Suku ke-n barisan geometri
a, ar, ar² , .......arn-1
U1, U2, U3,......,Un
Suku ke n Un = arn-1 ® fungsi eksponen (dalam n)
D. Deret Geometri
a + ar² + ....... + arn-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku
Jumlah n suku
Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1
= a(1-rn)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n)
Keterangan:
a. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
b. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
Un > Un-1
c. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
Un < Un-1
Bergantian naik turun, jika r < 0
d. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1
e. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
_______ __________
Ut = Ö U1xUn = Ö U2 X Un-1 dst.
f. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar

Barisan Geometri dan Deret Geometr

Barisan Geometri

Barisan geometri atau sering diistilahkan “barisan ukur” adalah barisan yang memenuhi sifat hasil bagi sebuah suku dengan suku sebelumnya yang berurutan adalah bernilai konstan. Misal barisan geometri tersebut adalah a,b, dan c maka c/b = b/a = konstan. Hasil bagi suku yang berdekatan tersebut disebut dengan rasio barisan geometri (r).

Misalkan sobat punya sebuah deret geometri
U₁, U₂, U₃, …, U_n-1, U_n
Maka
U₂/U₁ = U₃/U₂=U₄/U₃ = … U_n/U_n-1 = r (konstan)
lalu bagaimana menetukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri? coba ambil contoh
U₃/U₂ = r maka U₃ = U₂. r = a.r.r = ar²
U₄/U₃ = r maka U₄ = U₃. r = a.r².r = ar³ sejalan dengan
U_n/U_n-1 = r maka U_n = U_n-1. r = ar^n-2.r = ar^n-2+1 = ar^n-1

jadi dari penjelasan di atas sobat bisa menyimpulkan

Rumus Suku ke-n dari barisan geometri dirumuskan
Un = ar^n-1
dengan a = suku awal dan r = rasio barisan geomteri

contoh soal

Tentukan suku ke 10 dari barisan 1/8, 1/4, 1/2, ….
jawab :
kalau ditanya suku ke lima atau suku yang masih ke-sekian yang masih kecil mungkin sobat bisa meneruskan barisan geometri tersebut tapi kalau ditanyakan suku ke-10, ke-50, atau ke-100 akan sangat merepotkan dan mau tidak mau harus pakai rumus di atas.
r = 1/4 : 1/8 = 1/4 x 8 = 2 –> rasio
a = 1/8
Un = ar^n-1 = 1/8 2^(10-1) = 1/8 . 2⁹ = 2^-3.2⁹ = 2⁶ = 64

contoh soal berikutnya

Sebuah amoeba dapat membelah diri menjadi 2 setiap 6 menit. Pertanyaannya, berapakah jumlah amoeba setelah satu jam jika pada awalnya terdapat 2 amoeba?
a = 2
r = 2
n = (1 jam/ 6 menit) + 1 = 11 –> menit juga dimasukkan
U_n = ar^n-1
U₁₀ = 2.2^11-1 = 2¹⁰ = 1024 buah amoeba.

Deret Geometri

Deret geometri didefinisikan sebagai jumlah n buah suku pertama dari barisan geometri. Nilai dari n suku pertama dari sebuah barisan geometri dapat ditentukan dengan

  S_n = a + ar + ar² + ar³ +… + ar^n-2 + ar^n-1
r S_n = ar + ar² + ar³ +… + ar^n-2 + ar^n-1 + arⁿ    (keduanya kita kurangkan)
———————————————————————————
S_n – rS_n = a – arⁿ
S_n (1-r) = a (1-rⁿ)
Sn = a  (1-rⁿ)/ (1-r)
dengan a = suku pertama dan r = rasio barisan geometri

Contoh Soal
tentukan jumlah 6 suku pertama dari barisan 1,3,9,…
Jawab
a = 1
r = 3 dan n = 6
Sn = a  (1-rⁿ)/ (1-r) = 1 (1-3⁶) / (1-3) = 1 (1-729) / -2 = -728/-2 = 364

Sisipan pada Barisan Geometri

dalam barisan geometri dikenal adanya sisipan. Misalkan di antara p dan q sobat sisipkan k buah bilangan  dan terdjadi barisan geometri, maka rasio barisan geometri adalah

Suku Tengah Barisan Geometri

jika U1, U2, U3, … Un merupakan barisan geometri dengan n ganjil maka suku tengah barisan geometri tersebut adalah

Deret Geometri tak Hingga

Ketika sobat menjatuhkan bola bekel dari ketinggian satu meter dan bola tersebut akan memantul ke atas sejauh 0,8 tinggi jatuh sebelumnya berpa jarak yang ditempuh bola bekel tersebut hingga berhenti? heheh susah ya. Itu adalah contoh dari deret geomerti tak hingga yaitu deret yang banyak suku-sukunya tak terhingga. Jumlah suku-suku dari deret tak hingga  ada kemungkinan hingga tau tak hingga. Jika deret itu hingga maka deretnya disebut deret konvergen dan jika tak hingga disebut dere divergen. Gampangnya jika jumlah deret tak hingga menuju ke suatu harga tertentu yang berhingga maka disebut konvergen (mengerucut). Sebaliknya, deret geometri yang menuju bilangan tak hinggaa disebut divergen.

Deret tak hingga yang rasionya r ≥ 1 atau r ≤ 1 disebut deret divergen dan yang mempuyai rasio -1< r < 1 disebut deret konvergen. Untuk menghitung deret tak hingga ada dua rumus tergantung pada nilai r

nama deret	rasio (r)	rumus
divergen	r ≥ 1 atau r ≤ 1	s = ∞
konvergen	-1< r < 1	s = a/ 1-r

Contoh Soal
Tentukan jumlah suku-suku deret geometri tak hingga dari 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + ….
Jawab
a = 1
r = 0,5
S∞ = a/1-r = 1/1-0,5 = 1/0,5 = 2